西电沈振元通信课件 第2章

发布时间:2021-09-24 22:33:36

第2章 确知信号分析

第2章 确知信号分析
2.1 信号和系统的分类

2.2 周期和非周期信号的频谱分析
2.3 傅里叶变换的运算特性 2.4 谱密度和帕塞瓦尔定理 2.5 信号通过线性系统的不失真传输条件 2.6 波形的相关

2.7 基于MATLAB的信号处理
思考题 *题

第2章 确知信号分析

2.1 信号和系统的分类
通信系统中信号的变换和传输是由很多部件共同完成的,

可以把整个通信系统称为一个系统,也可以把其中几个部件称
为一个系统。信号在系统中的变换和传输可以用图2.1表示, 图中假设输入信号为x(t),通过系统后得到的输出响应为y(t)。 在分析x(t)和y(t)的频谱,并研究x(t)通过系统求输出响应 y(t)的各种方法之前,先对信号和系统进行简单的分类,以便 根据信号和系统不同的性质,来采取不同的分析计算方法。

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图2.1 系统中的信号的传输与变换

第2章 确知信号分析

2.1.1 信号的分类
1. 确知信号和随机信号 可以用明确的数学表达式表示的信号称为确知信号。如

果信号没有明确的数学表示式,当给定一个时间值时,信号
的数值并不确定,通常只知道它取某个数值的概率,则称这 种信号为随机信号。研究随机信号时,应采用统计的观点和 方法。

第2章 确知信号分析 实际的信号,不论是模拟的还是数字的,通常都是随机 的,此外,通信系统中普遍存在的噪声几乎都是随机的,这

就确定了随机信号分析在本课程中的重要性。但随机信号有
时也可以当作确知信号加以分析,例如数字信号中常用的二 进制代码,虽然二进制代码本身是随机的,但其中单个的1码 或0码都可以看做确知信号。另外,随机信号的分析方法与确 知信号的分析方法有很多共同的地方。因此,确知信号的分 析方法是信号分析的基础。

第2章 确知信号分析 2. 周期信号和非周期信号 如果信号x(t)满足x(t)=x(t+T0),-∞<t<∞,T0>0,则称x(t)为

周期信号,T0 称为周期。反之,不能满足上述关系的信号称
为非周期信号。

第2章 确知信号分析 3. 功率信号和能量信号 如果一个电流或电压信号x(t)作用在 1 Ω电阻上,瞬时功率 为|x(t)|2,则在(-T/2,T/2)时间内消耗的能量为

E ? ?-T / 2 x(t ) dt
T /2

2

(2.1)

而*均功率为
2 1 T /2 S ? ?-T / 2 x(t ) dt T

(2.2)

??

当T→∞时,如果E存在,则x(t)称为能量信号,此时*均功率 S=0。

第2章 确知信号分析 反之,如果T∞,E不存在(无穷大)而S存在,则x(t)称为 功率信号。 周期信号一定是功率信号,非周期信号可以是功率信号,

也可以是能量信号。

第2章 确知信号分析

2.1.2 系统的分类
图2.1所示的系统输入信号x(t)和输出响应y(t)之间存在着如 下的函数关系式:?? y(t)=f[x(t)] (2.3) 从这个函数关系式的特点出发,可以将系统分为线性系统 和非线性系统、时不变系统和时变系统以及物理可实现系统和 物理不可实现系统等三类。 一个系统如果是线性的,那么叠加原理一定适用。例如图

2.1所示的系统,假设x1(t)的响应为y1(t),x2(t)的响应为y2(t),那
么当输入为[x1(t)+ x2(t)]时,叠加原理适用时的输出响应为 [y1(t)+ y2(t)]。它表明一个激励的存在并不影响另一个激励 的响应。

第2章 确知信号分析 凡是不满足叠加原理的系统称为非线性系统。非线性系统 内一个激励的存在将影响另一个激励的响应。 参数不随时间变化的系统称为时不变系统,而参数随时间 变化的系统称为时变系统。如果输入信号x(t)和响应y(t)满足: 当y(t)= f[x(t)]时, y(t-t0)= f[x(t-t0)], -∞<t,t0<∞ (2.4) 则系统是时不变的,反之,系统是时变的。时变系统也称为变

参(随参)系统,时不变系统也称为恒参系统。

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2.2 周期和非周期信号的频谱分析
2.2.1 周期信号用傅里叶级数展开的三种表示式
1. 基本表示式 任意一个周期为T0的周期函数f(t),只要满足狄里赫利条

件,即: 在一个周期内,周期信号f(t)满足:
(1) 绝对可积; (2) 只有有限个极大值和极小值;

第2章 确知信号分析

(3) 只有有限个不连续点,并且在这些不连续点上,f(t)的
函数值必须是有限值, 则f(t)可以展开为傅里叶级数

f (t ) ? A0 ? ? ? An cosn? 0 t ? Bn sinn? 0 t ?
n ?1

?

(2.5)

其中: ω0=2π/T0为基波角频率; f0=1/T0为基波频率;

1 A0 ? T0
是f(t)的*均值(直流分量);

?

T0 / 2

?T0 / 2

f (t )dt
(2.6)

第2章 确知信号分析

?? 是f(t)的第n次余弦波的振幅; ? 2 T0 / 2 ? Bn ? f (t )sinn? 0 tdt

2 An ? T0

?

T0 / 2

?T0 / 2

f (t ) cos n? 0 tdt

(2.7)

T0

?

?T0 / 2

(2.8)

?? 是f(t)的第n次正弦波的振幅。 如果f(t)=f(-t),函数呈偶对称,则Bn=0,只有余弦项。

如果f(t)=-f(-t),函数呈奇对称,则An=0,只有正弦项。

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2. 余弦函数表示式 由于An cosnω0t+Bnsinnω0t=Cn cos(nω0t-φn),其中
??

?? 由此得到f(t)的另一种表示式为 ?? ? ?? 其中C0=A0。
n ?1

?C ? A 2 ? B 2 n n ? n ? Bn ? ? n ? arctan An ?

? An ? C n cos? n 或者 ? ? Bn ? C n sin? n

f (t ) ? C 0 ? ? C n cos(n? 0 t ? ? n )

(2.9)

第2章 确知信号分析 3. 指数函数表示式 由尤拉公式cosx=(ejx+e-jx)/2, 可以得到 ?? 其中, ?? 并且有
? ? 2 πnt T0

f (t ) ?

n ? ??

Vn e jn?0t ? ?

n ? ??

?V e
n

j

(2.10)

1 Vn ? T0

?

T0 / 2

?T0 / 2

f (t )e

? jn?0t

dt
(2.11)

??

? ?V0 ? C0 ? A0 ? Cn ? j?n ? e , 复振幅 ?Vn ? 2 ? Cn j?n ? V? n ? e ? Vn* (Vn的共轭) ? ? 2

(2.12)

第2章 确知信号分析 4. 三种表示式的关系 基本表示式的各种系数都有相应的计算公式,但是由于一

个频率成分要用互相正交的两项表示,使用起来不方便。如果
把同频率的两项合并就得到了余弦函数表示式,则这种表示式 物理概念清楚,每个频率成分的振幅和相位清楚,但是振幅和

相位的计算比较复杂。指数函数表示式是由余弦表示式从数学
上推导得到的,一个频率为nω0的正弦波变为nω0和-nω0两个频 率成分的指数函数。这种表示式没有什么物理意义,纯属数学 上的表示式,但它是傅里叶变换推导的基础; 另外,它作为一 种中间运算工具很有用处,是本课程中最常用的一种表示式。

第2章 确知信号分析 2.2.2 典型周期信号的频谱分析 1. 周期矩形脉冲的傅里叶级数展开式 一个典型的周期矩形脉冲如图2.2所示,脉冲宽度为τ,

幅度为A,周期为T0。图中,函数关于纵坐标轴对称,呈偶函
数形式,因此Bn=0。

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图2.2 周期矩形脉冲

第2章 确知信号分析 经计算,A0=C0=V0=Aτ/T0是直流成分, ??

2A ? nπ? An ? sin ? nπ ? T0
A? 2A? f (t ) ? ? T0 T0

? 2A? sin ? nπ? / T0 ? ? ?? nπ? / T0 ? T0
?

(2.13)

因此 ??

?
n ?1

sin ? n?0? / 2 ? n?0? / 2

cos n?0t

(2.14)

其指数函数表示式为 ??

A? f (t ) ? T0

sin ? n?0? / 2 ? jn?0t ? n? ? / 2 e n ?-? 0
?

(2.15)

第2章 确知信号分析 式(2.15)的展开式中出现了一个重要的函数形式

sin?n? 0? / 2? n? 0? / 2

,如果令x=nω0τ/2,则得到sinx/x这样的

函数形式,称为抽样函数,用符号Sa(x)表示,即 sinx Sa ( x) ? (2.16) x 函数Sa(x)在频谱分析中经常要用到,如图2.3所示。用罗 比塔法则可以求得Sa(0)=1,而当x=±π,±2π,…,±kπ时, Sa(x)=0。

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图2.3 抽样函数Sa(x)

第2章 确知信号分析 2. 周期矩形脉冲的频谱和频谱图 周期信号的傅里叶级数展开式的物理意义是把信号分解 成很多频率成分的正弦波。周期信号为T0的信号分解后,包 含有直流和ω0(基波), 2ω0, 3ω0, …, nω0等频率分量。周

期信号的频谱是离散频谱。将周期信号展开成如式(2.9)所示
的傅里叶级数后,每个频率成分的余弦波具有一定的振幅和 相位。因此,频谱包含振幅频谱(振幅和频率的关系)和相位 频谱(相位和频率的关系)。如果将它们画成图,就称为频谱 图。振幅与频率的关系图称为振幅频谱图,相位与频率的关 系图称为相位频谱图。

第2章 确知信号分析 由图2.2所示的周期矩形脉冲的指数函数展开式(2.15)可知 其复振幅为

A? Vn ? T0

? sin ? nπ? / T0 ? ? A? ? nπ? ? ?? Sa ? ?? ? ? T0 ? ? nπ? / T0 ? T0

Vn是离散出现的,当n=0, ±1, ±2, ±3, … 即ω=0, ±ω0, ±2ω0,±3ω0, …时,

A? A? ? π? ? A? ? 2π? ? A? ? 3π? ? Vn ? , Sa ? Sa ? Sa ? ?, ?, ?, ? T0 T0 ? T0 ? T0 ? T0 ? T0 ? T0 ?

第2章 确知信号分析

图 2.4 周期矩形脉冲频谱图

第2章 确知信号分析 Vn与ω的关系曲线如图2.4所示,图中画出了τ不变而T0分

别为5τ和10τ时的频谱图。频谱图按照Sa(ωτ/2)的曲线(虚线)变
化,第一个零点出现在|ω|=2π/τ处。图2.4(a)中,从ω=0到第一 个零点之间有4条离散频谱,而图2.4(b)中则增加到9条。 周期矩形脉冲频谱有两个特点: 一是离散性,即频谱由 不连续线条组成; 二是谐波性,即谱线条之间的距离相等。 谐波频率与基波频率间有简单的整数倍关系。

第2章 确知信号分析 2.2.3 非周期信号的频谱函数 由式(2.10)和式(2.11)可知,当T0→∞时,周期信号就变成

了非周期信号。用积分代替求和运算,可以得到

1 ? f (t ) ? F (? )e j?t d? ??? 2π
其中,

(2.17)

F (? ) ? ?

?

??

f (t )e

-j? t

dt
(2.18)

第2章 确知信号分析 称为频谱函数。通常用F(ω)=F[f(t)]表示 ?
? ??

f (t )e d?,
-j?t

称为傅里叶正变换,简称傅里叶变换,而用f(t)= F-1[F(ω)]
1 ? F (? )e j?t d? ,称为傅里叶反变换或傅里叶逆?变换。 表示? ??? 2π

在图2.2所示的矩形脉冲中,当τ不变而T0→∞时,由图2.4 可以看出,此时频谱的幅度趋于0,而间隔也趋于0,离散谱

变成了连续谱。利用傅里叶变换,可以求出此非周期矩形脉
冲的频谱函数为

sin(?? / 2) F (? ) ? A? ? A?Sa (?? / 2) ?? / 2

(2.19)

第2章 确知信号分析 当A=1时,有

?1, | t |? ? / 2 f (t ) ? ? ?0, | t |? ? / 2
称为门函数,用符号Gτ(t)或Dτ(t)表示,本书统一用Dτ(t)表示门 函数。门函数的频谱函数F(ω)=F[Dτ(t)]=τSa(ωτ/2)。

第2章 确知信号分析 2.2.4 周期信号的频谱函数

如前所述,周期信号可以展开为傅里叶级数,而非周期
信号具有频谱函数。那么,周期信号有没有频谱函数呢?当 引入δ函数后,答案是肯定的。 单位冲激函数用δ(t)表示,

??, t ? 0 ? (t ) ? ? ? 0, t ? 0
且? ? ? ? (t )dt ? 1 ?
?

(2.20)

。?

单位冲激函数的频谱函数为

F (? ) ? F [? (t )] ? ? ? (t )e
??

?

? j ?t

dt ? ? ? (t )dt ?1
??

?

(2.21)

第2章 确知信号分析 F[δ(t)]=1是一个很重要的概念,表明单位冲激函数所 有频率分量的相对振幅都是1。利用傅里叶反变换,有

1 ? 1 ? 1 ? j?t F [? (t )] ? ??? ? (?)e dt ? 2π ??? ? (?)d? ? 2π 2π
?1

(2.22)

由此得到
F[1]=2??(?), F[A]=2?A?(?) (2.23)

第2章 确知信号分析

单位矩形脉冲的τ→∞时,振幅为1,而单位矩形脉冲的
频谱函数为τSa(ωτ/2),由此得到

? ?? lim ?Sa ? ? ?? ?? ? 2
?

? ? ? 2π? (? ) ?

(2.24)

一个周期信号f(t)可以展开为傅里叶级数

f (t ) ?
其中ω0=2π/T0。

n ? ??

Vn e jn?0t ?

第2章 确知信号分析 要求出f(t)的频谱函数,首先要求出

e

j n? 0 t

的频谱函数

F (e jn?0t ) ,求解的基本思路是先对
j n? 0 t 的频谱函数为

e

j n? 0 t

截取一段时间(-

τ/2,τ/2),求出这段时间内的傅里叶变换,再令τ/2→∞,即可 求出?

e

? ? ? n?0 ? 2sin ? ?? 2 ? ? ? lim ? Sa (? ? n?0 )? ?e jn?0t ? ? lim F? ? ? ?? ? ?? ? ? n?0 2

第2章 确知信号分析 把式(2.24)代入上式,得

F ?e jn?0t ? ? 2π? (? ? n?0 ) ? ?
因此

(2.25)

F [ f (t )] ? ? Vn F ?e ?
n ???

?

jn?0t

? ? 2π ? Vn? (? ? n?0 ) ? n ???
(2.26)

?

式(2.26)就是周期信号的频谱函数。

第2章 确知信号分析 2.2.5 常用信号的频谱函数 本书中常用的信号有矩形脉冲、升余弦脉冲、三角脉冲、

冲激函数等; 此外,诸如梯形脉冲、余弦脉冲、阶跃函数、指
数函数等信号也会遇到; 还有些信号在相关课程的学*中会有 所涉及。本书收集了一些常用信号,将它们的时间函数f(t)和 频谱函数F(ω)列于表2.1中,供今后使用时参考。

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2.3 傅里叶变换的运算特性
通过傅里叶变换关系式,原则上给出一个f(t)就可以求出 它的F(ω),反之,给出一个F(ω)就可以求出它的f(t)。f(t)和

F(ω)各自具有不同的适用场合,如果最终需要求出信号的波
形,则用时域表示式f(t); 如果最终需要求出信号的频谱带 宽,则用频域表示式F(ω)。

信号通过通信系统传输的过程中,经常会遇到诸如线性
放大、时延、微分、积分、两个信号相乘、滤波等过程,如 果对这些常用的变换直接导出一些定理,那么应用起来就比 较方便。表2.2给出了常用的傅里叶变换的运算特性,这些变 换在“电路、信号与系统”课程中已经学*过。

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2.4 谱密度和帕塞瓦尔定理
前面两节回顾了信号的时间函数与频谱函数之间的变换 关系,以及信号传输过程中输入、输出波形与频谱之间的关 系。本节讨论信号的能量谱密度和功率谱密度,并将它们与

频谱函数F(ω)或复振幅Vn联系起来,最后由能量谱密度或功
率谱密度来确定信号的带宽。

第2章 确知信号分析 2.4.1 功率和能量的一般计算公式 设f(t)为电流,当它通过电阻R时,瞬时功率p(t)= f2(t)R,

在-T/2~T/2时间内消耗的能量为

E??
*均功率为

T /2

?T / 2

f 2 (t ) Rdt

1 T /2 2 S? ? f (t ) Rdt T ?T / 2

第2章 确知信号分析 如果f(t)为电压,当它作用在电阻R时,则瞬时功率p(t)= f2(t)/R,在-T/2~T/2 时间内消耗的能量为

E??
*均功率为

T /2

?T / 2

f 2 (t ) dt R
2

1 f (t ) S? ? dt T ?T / 2 R
T /2

第2章 确知信号分析 为运算方便起见,对上述计算公式进行归一化,即令 R=1 Ω,此时不论f(t)是电流还是电压,均可以把公式简化为

p(t)=f 2(t)

(2.27)

E??

T /2

?T / 2

f 2 (t )dt

(2.28)

1 T /2 2 S? ? f (t )dt T ?T / 2

(2.29)

第2章 确知信号分析 1. 能量信号 当T→∞时,如果? E ?
?

?

??

f (t )dt 为有限值,则称为

2

能量信号,此时*均功率S=0,因此只能用能量来表示信号,

而不能用*均功率来表示信号。能量信号的能量计算公式为

E??

?

??

f (t ) d t

2

(2.30)

第2章 确知信号分析 2. 功率信号

E ? ? f 2 (t )dt ? ? ,则不能用能量 当T→∞时,如果 ??
来表示信号,而只能用*均功率来表示信号,因此称能量E不 存在而*均功率S存在的信号为功率信号。周期信号的*均功 率可以在一个周期T0内求出,即

?

1 S? T0
号都是功率信号。

?

T0 / 2

?T0 / 2

f (t )dt

2

T0为周期

(2.31)

只要f(t)周期内不出现无穷大的值,S一定存在。周期信

第2章 确知信号分析 3. 能量信号、功率信号、周期信号、非周期信号之间的 关系 一个实用的信号要么是能量信号,要么是功率信号。如

E 果信号是能量信号,则? ?

?

?

??

f 2 (t )d?存在,且S=0; 如 t

果信号是功率信号,则? ? ? E

?

??

f 2 (t )dt ??不存在,而S存在。 ?

周期信号必定是功率信号, 非周期信号可以是能量信号, 也可以是功率信号。当 周期信号是能量信号; 当?

E??

?

??

f 2 (t存在且S=0时,非 ) dt
? ??

时,非周期信 E ? ? f 2 (t ) d t ? ?

号是功率信号,例如阶跃函数f(t)= U(t)就是功率信号。

第2章 确知信号分析 2.4.2 帕塞瓦尔定理 帕塞瓦尔定理是一个把能量E(或者*均功率S)与频谱函

数F(ω)(或复振幅Vn)联系起来的定理,即通过F(ω)(或Vn)来求
信号的能量E(或者*均功率S),它对于确定信号的带宽非常 有用。

对于能量信号f(t),设F[f(t)]= F(ω),则

E??

?

-?

1 ? f (t )dt ? | F (? ) | 2 d? 2π ?-?
2

(2.32)

第2章 确知信号分析 对于周期为T0的周期性功率信号f(t),设?(t ) ? f



n ? ??

Vn e jn?0t ?

?

1 S? T0

?

T0 / 2

?T0 / 2

f (t )dt ?
2

n ???

?V

?

2

n

(2.33)

第2章 确知信号分析 帕塞瓦尔定理的物理意义在于,它把信号能量E或者* 均功率S的计算与频谱函数F(ω)或者复振幅Vn联系起来。这样

就有了两种计算E或S的方法,可以在给出信号时间函数的情
况下求出E或S,也可以在给出F(ω)或Vn的情况下求出E或S。 如果信号的某种表达式计算起来不方便,则可以通过另一种

方法计算。
帕塞瓦尔定理给出了一个很重要的概念,即能量信号的 总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的积分, 而周 期性功率信号的*均功率等于各个频率分量单独贡献出来的 *均功率的和。不同频率间的乘积对信号的能量和功率没有

任何影响。

第2章 确知信号分析

2.4.3 能量谱密度G(ω)和功率谱密度P(ω)

1 ? Vn 由? ? ?和? S ? E | F (? ) | 2 d? 2π ?-? n ? ??
和功率又是多大?它们是如何分布的?

?

?

2

可以看

出,E和S是由很多频率成分组成的。那么,单位频率的能量

单位频率的能量称为能量谱密度,用G(ω)表示; 单位频
率的功率称为功率谱密度,用P(ω)表示。因此有

1 ? E ? ? G(? )df ? ??? G(?)d? ?? 2π
?

(2.34) (2.35)

1 ? S ? ? P(? )df ? ??? P(? )d? ?? 2π
?

第2章 确知信号分析 G(ω)和P(ω)分别表示信号*德手岱植嫉那榭觯杂诿 一个频率f上都有可能存在G(ω)和P(ω),在某个很小的频率范 围df内,存在能量G(ω)df或功率P(ω)df。G(ω)的单位为J/Hz,

P(ω)的单位为W/Hz。
G(ω)和F(ω)的关系满足

G(ω)=|F(ω)|2
这也是G(ω)的计算公式。

(2.36)

第2章 确知信号分析 由于|F(ω)|2=|F(-ω)|2,因此G(ω)是实偶函数,能量计算公 式可以简化为

1 ? 1 ? E? ??? G(?)d? ? π ?0 G(?)d? 2π
周期信号的P(ω)的计算公式为

(2.37)

P(? ) ? 2π ? | Vn | 2 ? (? ? n? 0 )
n ? ??

?

(2.38)

第2章 确知信号分析 周期信号的功率谱密度是离散的,而且都是冲激函数。 对于Vn不为零的nω0成分,具有一定的功率,这与非周期信

号不同。
非周期功率信号的P(ω)的表示式为
P(? ) ? lim FT (? ) 2

T 由于|FT(ω)|2是实偶函数,因此
1 ? 1 ? S? ??? P(?)d? ? π ?0 P(?)d? 2π

T ??

(2.39)

(2.40)

第2章 确知信号分析 表2.3列出了各种信号的能量E、*均功率S、能量谱密

度G(ω)、功率谱密度P(ω)和帕塞瓦尔定理的表示式。由表中
可见,G(ω)和P(ω)都只与振幅频谱有关,而与相位频谱无关, 因此,从G(ω)和P(ω)中只能获得信号的振幅信息,而得不到 信号的相位信息。

第2章 确知信号分析

2.4.4 信号带宽B
研究G(ω)和P(ω)的目的,主要是为了研究信号能量或功 率在频域内的分布规律,以便合理选择信号的通频带,对传 输电路提出恰当的频带要求,尽量做到在信号不失真或少失 真的条件下提高信噪功率比。

第2章 确知信号分析

带宽这个名称在通信系统中经常出现,而且常常代表不
同的含义,因此在这里先对带宽这个术语做一些说明。从通 信系统中信号的传输过程来说,实际上遇到两种不同含义的 带宽: 一种是信号或者噪声的带宽,这是由信号或者噪声的 能量谱密度G(ω)或者功率谱密度P(ω)在频域上的分布规律确

定的,也就是本节所要定义的带宽;另一种是信道的带宽,
这是由传输电路的传输特性决定的。信号带宽的符号用B表 示,单位为Hz; 信道带宽的符号一般也用B表示,单位也是 Hz。在用到带宽时,将指明是信道带宽还是信号带宽。

第2章 确知信号分析 从理论上讲,除极少数信号外,信号频谱的分布都是无 穷宽的。如果把凡是有信号频谱的范围都算作带宽,那么很 多信号的带宽就变为无穷大了,显然这样定义带宽是不恰当 的。一般信号虽然频谱很宽,但是绝大部分实用信号的主要 能量或功率都是集中在某个不太宽的频率范围内的。因此,

通常根据信号能量或功率集中分布的情况,恰当地定义信号
的带宽。常用的定义信号带宽的方法有以下三种。

第2章 确知信号分析 1. 以集中一定百分比的能量或功率来定义 对于能量信号,可以由

2

?

B

F (? ) df

2

0

E 求出B,其中γ是一个人为设定的百分比。由于

??

(2.41)

1 E? 2π

?

?

??

F (? ) d? ?

2

?

?

??

F (? ) df ? 2

2

?

?

F (? ) df

2

0

因此带宽B是指正频率区域(不计负频率区域)。如果信号是低
频信号,那么能量集中在低频区域,? 就是在0~B频率范围内的能量。

2

?

B

F (? ) df

2

0

第2章 确知信号分析 同样,对于功率信号,可由
2 ? ? B FT (? ) ? lim ? F (? ) 2 df 2 0 ?T ? ? T ? ? ? ?? S

?

(2.42)

求出B。 百分比γ可以取90%、95%或99%等。

第2章 确知信号分析 2. 以能量谱或功率谱下降3 dB内的频率间隔作为带宽

对于频率轴上具有明显的单峰形状或者一个明显的主峰
的能量谱密度或功率谱密度的信号,并且峰值位于f=0处,则 信号带宽B定义为正频率轴上的G(ω)或P(ω)下降到3 dB(半功 率点)处所对应的频率间隔,如图2.5所示。在G(f)—f曲线中, 由G(f1)=G(0)/2或者P(f1)= P(0)/2可以得到

B=f1

(2.43)

第2章 确知信号分析

图2.5 半功率带宽

第2章 确知信号分析

3. 等效矩形带宽
用一个矩形的频谱代替信号的频谱,矩形频谱具有的能 量与信号的能量相等,矩形频谱的幅度为信号频谱在f= 0时的 幅度,如图2.6所示。 由 2 BG (0) ? 可以得到
?

?

??

G (? )df
? ??

或者 2BP(0) ?

?

?

??

P(?)df

? B?
或者

G(? )df
(2.44)

2G(0)
?

? B?

??

P(? )df
(2.45)

2 P(0)

第2章 确知信号分析

图2.6 等效矩形带宽

第2章 确知信号分析

2.5 信号通过线性系统的不失真传输条件
2.5.1 信号通过线性系统的分析
信号通过线性系统如图2.7所示,图中h(t)为线性系统的 冲激响应,H(ω)为线性系统的传输函数,并且有H(ω)=F [h(t)],h(t)= F-1[H(ω)]。时间卷积公式为

y(t ) ? x(t ) * h(t ) ? ??? x(? )h(t ? ? )d? ? ??? h(? ) x(t ? ? )d?
?

?

第2章 确知信号分析

图2.7 信号通过线性系统

第2章 确知信号分析 实际系统的时间卷积公式为

y(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d? ? ? h(? ) x(t ? ? )d?
?? 0

t

?

(2.46)
如果信号从t=0开始,则

y(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d? ? ? h(? ) x(t ? ? )d?
0 0

t

t

(2.47)

第2章 确知信号分析 现在分析输出能量谱密度Go(ω)(或者功率谱密度Po(ω)) 与输入能量谱密度Gi (ω)(或者输入功率谱密度Piω))的关系。

由图2.7可以知道,信号为能量信号时,输入端
Gi(ω)=|X(ω)|2, 输出端Y(ω)=H(ω)X(ω),因此 Go(?)=|Y(?)|2=|H(?)|2|X(?)|2=|H(?)|2 Gi(?) (2.48)

第2章 确知信号分析 采用同样的方法,当信号为非周期功率信号时,有

Pi (? ) ? lim

X T (? ) T

2

T ??

YT(ω)=H(ω)XT(ω) 因此

Po (? ) ? lim

H (? ) X T (? ) T

2

T ??

? H (? ) Pi (? )
2

(2.49)

第2章 确知信号分析 2.5.2 信号通过线性系统的不失真条件 所谓不失真传输,是指信号经过线性系统后,输出信号 与输入信号相比较只有衰减、放大和时延,而没有波形的失

真,用数学式表示就是
y(t)=±K0x(t-td) (2.50)

其中: K0是衰减或放大系数; td是时延常数。“±”中的“-”表 示输出信号与输入信号相比只是反了一个相,这种情况在本 书中也认为是不失真的。

第2章 确知信号分析 设X(ω)是输入信号x(t)的频谱函数,则

Y (? ) ? F ?? K 0 x(t ? t d )? ? ? K 0 X ?? ?e ? j?td
H (? ) ? ? K 0 e ? j?td ? H (? ) e j? (? )

(2.51) (2.52) (2.53)

|H(ω)|=K0 φ(ω)=-ωtd±mπ, m为整数

第2章 确知信号分析 图2.8是信号通过线性系统不产生失真时的条件。如果用

文字来表述,任意一个信号通过线性系统不产生波形失真,
应该具备下面两个条件: (1) 系统的振幅频率特性应该是一个不随频率变化的常数, 如图2.8(a)所示。 (2) 系统的相位频率特性应该与频率成直线关系,而且该 直线应该通过原点或者±mπtd, 如图2.8(b)所示。

第2章 确知信号分析

图2.8 信号通过线性系统的不失真传输条件

第2章 确知信号分析 在实际应用中,由于信号的带宽是有限的,因此当传输 有限带宽的信号时,只要求在信号带宽范围内满足上述条件 即可。 对于无线电通信系统,信号是通过调制的频带信号,例 如简单的调幅信号 x(t)=[1+(m1cosΩ1t+m2cosΩ2t)]cosω0t=A(t)cosω0t 对于这种已调信号的传输,往往只要求包络A(t)不失真即可。 此时,不失真的条件将放宽为:

(1) 在信号的频带内满足|H(ω)|=K0。
(2) 在信号的频带内满足φ(ω)—ω关系为直线,或者 τ(ω)=dφ(ω)/dφ(ω)为常数,或者

φ(ω)=-ωtd+φ0

第2章 确知信号分析

2.6 波 形 的 相 关
2.6.1 互相关函数和自相关函数

1. 互相关函数
对于周期功率信号,设v1(t)和v2(t)是两个周期功率信号, 则它们之间的互相关程度用互相关函数R12(τ)表示,定义为

1 T0 / 2 R12 (? ) ? ??T / 2 v1 (t )v2 (t ? ? )dt T0 0

(2.54)

第2章 确知信号分析 对于一般功率信号,设v1(t)和v2(t)为非周期功率信号,则

1 T /2 R12 (? ) ? lim ??T / 2 v1 (t )v2 (t ? ? )dt T?? T
对于能量信号,设v1(t)和v2(t)为能量信号,则

(2.55)

R12 (? ) ? ? v1 (t )v 2 (t ? ? )dt
??

?

(2.56)

互相关函数除了与v1(t)和v2(t)有关外,还与τ有关。

第2章 确知信号分析 2. 自相关函数 当v1(t)=v2(t)时,互相关函数就变成为自相关函数,因此,

仿照互相关函数的定义可以得到自相关函数的定义。
对于非周期功率信号,设信号为v(t),自相关函数为R (τ),则

1 T /2 R(? ) ? lim ??T / 2 v(t )v(t ? ? )dt T?? T

(2.57)

第2章 确知信号分析

如果是周期信号,则

1 T0 / 2 R(? ) ? ??T / 2 v(t )v(t ? ? )dt T0 0
对于能量信号,有

(2.58)

R (? ) ? ? v(t )v(t ? ? )dt
??

?

(2.59)

第2章 确知信号分析 2.6.2 归一化相关函数和相关系数 相关函数R12(τ)和R(τ)不仅与τ有关,而且与波形的形状和 幅度大小有关,所以不易直接从数值的大小判断相关的程度。 下面介绍的归一化相关函数和相关系数则可以比较明显地看

出两个信号之间的相关程度。
设函数为v1(t)和v2(t),R11(τ)是v1(t)的自相关函数,R22(τ) 是v2(t)的自相关函数,R1,2 (τ)是v1(t) 和v2(t)的互相关函数。 定义v1(t) 和v2(t)的归一化自相关函数分别为

R11 (? ) R11 (0)



R22 (? ) R22 (0)

(2.60)

第2章 确知信号分析

定义归一化互相关函数为

R12 (? ) R11 (0) R22 (0)
定义v1(t) 和v2(t)的互相关系数ρ12为 (2.61)

?12 ?

R12 (0) R11 (0) R22 (0)
(2.62)

第2章 确知信号分析 相关系数与τ无关。互相关系数ρ12的数值在-1~+1之间变

化,即-1≤ρ12≤1。当 v1(t)=v2(t)时,ρ12=1,这就是自相关系数;
当v1(t)=-v2(t)时,ρ12=-1; 当v1(t)与v2(t)不相关时,ρ12=0。 例 如果函数v1(t)=Asinω0t,函数v2(t)=Asin(ω0t+π),试 求两个函数的互相关系数ρ12。

第2章 确知信号分析

解 R11(0)= R22(0)=S=A2/2,且

1 T0 / 2 R12 (0) ? ??T / 2 ( Asin?0t ) ?sin(?0t ? π)? dt T0 0 A T0 / 2 A 2 ?? ??T0 / 2 sin ?0tdt ? ? T0 2
所以ρ12=-1。
2 2

第2章 确知信号分析 现在归纳一下相关函数与谱密度G(ω)或P(ω)的关系。

假设v1(t)与v2(t)是能量信号,它们的傅里叶变换分别为
V1(ω)和V2(ω),即 F[v1(t)]=V1(ω), F[v2(t)]=V2(ω) 将F[R12(?)]=V1*(?)V2(?) 称为互能量谱密度,其中V1*(?)= V1(–

?) 。对于自相关函数,则有F[R(?)]= V*(?)V(?)=|V(?)|2
=G(?) ,它就是能量谱密度。也就是说,能量信号的互相关函
数R12(τ)与互能量谱密度V1*(?)V2(?)为傅里叶变换对; 能量信 号的自相关函数R(τ)与能量谱密度G(ω)为傅里叶变换对。如果 用数学符号表示,则分别为: R12(?) ? V1*(?)V2(?) R(τ) ? G(ω) (2.63) (2.64)

第2章 确知信号分析 同样,周期功率信号的自相关函数R(τ)与功率谱密度P(ω) 为傅里叶变换对,表示为

R(? ) ? 2π ? Vn ? ?? ? n? 0 ? ? P(? )
2 n ? ??

?

(2.65) 非周期功率信号的自相关函数R(τ)与功率谱密度P(ω)为

傅里叶变换对,表示为

R(? ) ? lim

VT (? ) T

2

T ??

? P(? )
(2.66)

第2章 确知信号分析

2.7 基于MATLAB的信号处理
MATLAB是一个集数学运算、图形处理、程序设计和系 统建模为一体的著名编程语言软件。它具有功能强大、使用

简单等优点,是进行科学研究和工程实践的有力工具。本节
将给出常用信号的傅里叶变换的MATLAB分析。

第2章 确知信号分析 2.7.1 MATLAB概述 MATLAB采用交互式语言形式,开发环境直观简洁,以 矩阵作为基本数据单位进行数值运算。MATLAB的程序由主 程序和各种工具包组成,其中主程序包含数百个内部核心函

数; 工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、系统识
别工具包、优化工具包、神经网络工具包、控制系统工具包、 μ分析和综合工具包、样条工具包、符号数学工具包、图像处 理工具包和统计工具包等。

第2章 确知信号分析 MATLAB具有如下特点:

(1) 强大的数值运算功能。MATLAB有超过500种数学、
统计、科学及工程方面的函数,函数使用简单自然,编程效率 高,易学易懂。 (2) 强大的图形处理能力。在MATLAB中数据的可视化非 常方便,其物件导向图形架构让使用者可以执行视觉数据分析,

并且可以很容易地制作出高品质的图形。
(3) 高级但却简单的程序环境。用MATLAB编程十分简单, 所花时间约为C语言的几分之一,而且不需要编译及连接即可

执行。
(4) 丰富的工具箱。功能强劲的工具箱为使用者提供了在 许多特别应用领域所需的函数。

第2章 确知信号分析 MATLAB系统主要由以下5部分构成: (1) MATLAB语言: 高水*的矩阵/阵列语言,具有控制

流语句、函数、数据结构、输入/输出和面向对象编程等特点。
(2) MATLAB工作环境: 是指MATLAB所用到的一套工 具和设置,例如帮助系统、工作内存管理、指令和函数管理、

搜索路径管理、操作系统、程序调试和性能剖析等。
(3) 图形处理: MATLAB的图形系统包括2D和3D可视化、 图像处理、动画以及图表说明的高层命令。MATLAB也包括 一些可以使图形充分体现个性化和在MATLAB应用软件中加 载完全图形用户界面的低层命令。

第2章 确知信号分析 (4) MATLAB数学函数库: 是一个巨大的算法库,覆盖 面极广。基本函数有sum、 sine、cosine和复数运算等,复杂 的函数有矩阵求逆、矩阵特征值、Bessel函数和快速傅里叶 变换等。 (5) MATLAB应用编程接口(API,Application

Programming Interface): 用户通过这个接口可以编写与
MATLAB互动的C和Fortran程序。 对于用户而言,除了可以使用随MATLAB版本所附带的

大量工具箱外,还有其他上千种工具箱,其中许多是免费的,
覆盖了更加广泛的应用领域。读者如果想了解这方面的内容, 可以到MathWorks公司的相关网页上查找。

第2章 确知信号分析 安装MATLAB时对系统的要求: (1) IBM-PC或与之完全兼容的Intel 486、Pentium或以上

的各种机型。
(2) 内存要求: 至少8 MB,推荐使用16 MB。 (3) 8位以上的图形适配器和至少能显示256色的彩色显示

器。
(4) 有少数指令需要用到声卡。 (5) Microsoft Windows 95/98或以上的中英文版本。 (6) 如果使用笔记本电脑,则需先安装Microsoft Word 7.0 或Office 97中的一种或以*姹尽

第2章 确知信号分析 (7) 如要使用HTML格式的帮助文件,则需先安装 Netscape Navigator 2.0、Microsoft Internet Explorer 3.0或以上

版本。
(8) 如要使用PDF格式的帮助文件,则需先安装Adobe Acrobat Reader。

第2章 确知信号分析

2.7.2 常用信号的MATLAB分析
1. 门函数Dτ(t)及其傅里叶变换 门函数Dτ(t)的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第1项。 MATLAB程序如下:? gate_width = 0.2

%门函数参数τ的测试数据,可以修改?
syms t t0 w %定义时间变量t(用t表示)、门函数的宽度 τ(用t0表示)以及%频率变量ω(用w表示) f = heaviside(t+t0/2)-heaviside(t-t0/2);? % heaviside (X) is 0 for X < 0,1 for X > 0,and NaN for X = 0 f=f %显示时域的解析表达式?

第2章 确知信号分析 t_plot = [-gate_width*5:0.001/gate_width:gate_width*5] f = subs(f,t0,gate_width)

%用gate_width确定变量t0的数值
f_plot=subs(f,t,t_plot) %把变量t的取值范围取为t_plot subplot(2, 1 ,1)? plot(t_plot,f_plot)? title(′时域门函数在门宽为gate__width时的时域显示′)

%MATLAB把单个下划线(_)理解成下标的转义符,在
%显示语句时可用双下线划(__)显示一个下划线?

第2章 确知信号分析

xlabel(′t/s′)?
ylabel(′门函数D(t)′)? F=fourier(f,t,w) %对门函数中的变量t进行傅里叶变换,输出以w为变量 F=F %显示频域的解析表达式?

W_plot = [-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:20*pi/
gate_width]? F = subs(F,t0,gate_width)? F_plot = subs(F,w,W_plot)?

第2章 确知信号分析 subplot(2, 1 ,2)? plot(W_plot,F_plot)?

title(′时域门函数在门宽为gate__width时的傅氏变换结果
频域显示′)? xlabel(′w/rad′)? ylabel(′F(w)′)

第2章 确知信号分析 2. 抽样函数f(t)=WSa(Wt)/π及其傅里叶变换 抽样函数f(t)=WSa(Wt)/π的时间函数及其傅里叶变换见表

2.1第4项。MATLAB程序如下:?
W_value= 0.2 syms t W w %可以修改本例中W的数值? %定义时间变量t、门函数的宽度W(用W

表示)以及频率变量ω(用w表示)? f = W/pi*sin(W*t)/(W*t);?

第2章 确知信号分析 t_plot = [-W_value*100*2*pi:pi*0.01/W_value: W_value*100*2*pi]?

f = subs(f,W,W_value)?
f_plot=subs(f,t,t_plot) figure(1)?

subplot(2, 1 ,1)?
plot(t_plot,f_plot)? title(′抽样函数在W=W__value 时的时域显示′) %用双下划线来显示下划线? xlabel(′t/s′)?

第2章 确知信号分析 ylabel(′Sa(t)′)? F=fourier(f,t,w) %对抽样函数中的变量t进行傅里叶变换,输出以w为变量 W_plot = [-0.25/W_value:0.005/W_value:0.25/W_value] F = subs(F,W,W_value)? F_plot = subs(F,w,W_plot)? subplot(2, 1 ,2)? plot(W_plot,F_plot)?

title(′抽样函数在W=W__value 时的傅氏变换结果频域显
示′)? xlabel(′w/rad′)?

ylabel(′F(w)′)

第2章 确知信号分析 3. 周期门函数的傅里叶级数及其傅里叶变换

π 周期门函数的傅里叶级数 T 0
clear all;? close all;?

? n?? ? Sa ? T ? n ? ?? ? 0
?

? ?e ? ?

j

2 nπt T0

及其

傅里叶变换见表2.1第8项。MATLAB程序如下:?

T0_value = 0.5
t0_value = 0.2

%T0的测试数据,可以修改?
%τ的测试数据,可以修改?

syms t t0 T0 w n %定义时间变量t、参数τ(用t0表示)、 %T0(用T0表示)以及频率变量ω(用w表示) ?

第2章 确知信号分析 tmp =pi/T0* sin(n*pi*t0/T0)/(n*pi*t0/T0)*exp(j*2*pi*n*t/T0) f = symsum(tmp,n,-inf,inf)?

f_result = subs(f,t0, t0_value)
%用t0_value给变量t0确定数值? f_result = subs(f_result,T0, T0_value) %用T0_value给变量T0确定数值? f_result=f_result?

第2章 确知信号分析 F=fourier(f,t,w) %对周期门函数傅里叶级数中的变量 %t进行傅里叶变换,输出以w为变量

F_result = subs(F,T0, T0_value)?
F_result = subs(F_result,t0, t0_value)?

F_result = F_result

%显示频域的解析表达式

第2章 确知信号分析

4. 周期冲激函数的傅里叶级数及其傅里叶变换

1 周期冲激函数 ? ?的傅里叶级数? T0 T0
clear all;? close all;? T0_value = 0.2 w0_value = 2*pi/T0_value;

n ? ??

?e

?

j n? 0 t

及其傅里叶变换见表2.1第9项。MATLAB程序如下:?

%T0的测试数据,可以修改 %w0的测试数据?

第2章 确知信号分析 syms t T0 w0 w n %定义时间变量t、周期T0(用T0表 %示)、ω0以及频率变量ω(用w表示)

tmp =1/T0*exp(j*w0*n*t)?
f = symsum(tmp,n,-inf,inf)?

f_result = subs(f,w0,w0_value) ?
f_result = subs(f_result,T0,T0_value) ?

f_result=f_result

%显示时域的解析表达式?

第2章 确知信号分析 F=fourier(f,t,w) %对周期冲激函数中的变量t进行 %傅里叶变换,输出以w为变量? F_result = subs(F,T0,T0_value)? F_result = subs(F_result,w0,w0_value)? F_result = F_result %显示频域的解析表达式

第2章 确知信号分析 5. 余弦滚降函数及其傅里叶变换 余弦滚降的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第16项。此 函数当α=1时就是升余弦脉冲。MATLAB程序如下:? gate_width =0.2 %门函数参数τ的测试数据,可以修改

a_value = 0.5
syms t t0 w a

%滚降因子a测试数据,可以修改?
%定义时间变量t、门函数的宽度τ (用 % t0表示)、频率变量ω(用w表示)以及 % 滚降因子a

第2章 确知信号分析

f = (heaviside(t+(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1-a)*t0/4))+…?
(heaviside(t+(1+a)*t0/4)-heaviside(t+(1-a)*t0/4))*1/2* (1+sin(2*pi/(a*t0)*(t0/4+t)))+…? (heaviside(t-(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1+a)*t0/4))*1/2* (1+sin(2*pi/(a*t0)*(t0/4-t)));? f=f %显示时域的解析表达式?

t_plot = [-gate_width:0.0001/gate_width:gate_width]?

f = subs(f,t0,gate_width)
%用gate_width给变量t0确定数值?

第2章 确知信号分析 f = subs(f,a,a_value) %用a_value给变量a确定数值? f_plot=subs(f,t,t_plot) % 把变量t的取值范围取为t_plot figure(1)? subplot(2, 1 ,1)?

plot(t_plot,f_plot)?
grid on;? title(′升余弦函数在参数为gate__width a__value时的时域

显示′)?
xlabel(′t/s′)? ylabel(′门函数D(t)′)?

F=fourier(f,t,w)

%对余弦滚降函数中的变量t进行
%傅里叶变换,输出以w为变量

第2章 确知信号分析 F=F

%显示频域的解析表达式?

W_plot = [-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:20* pi/gate_width]? F = subs(F,t0,gate_width)? F_plot = subs(F,a,a_value)? F_plot = subs(F,w,W_plot)? subplot(2, 1 ,2)? plot(W_plot,F_plot)?

grid on;?
title(′升余弦函数在参数为gate__width a__value时的傅氏 变换结果频域显示′)?

xlabel(′w/rad′)?
ylabel(′F(w)′)

第2章 确知信号分析 6. 半余弦脉冲函数及其傅里叶变换 半余弦脉冲的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第17项。 MATLAB程序如下:? gate_width=0.2

%门函数的参数τ的测试数据,可以修改
syms t t0 w %定义时间变量t、门函数的宽度τ(用t0表 %示)以及频率变量ω(用w表示)? f = (heaviside(t+t0/2)-heaviside(t-t0/2))*cos(pi*t/t0);? f = f%显示时域的解析表达式?

t_plot = [-gate_width*5:0.001/gate_width:gate_width*5]
?

第2章 确知信号分析 f = subs(f,t0,gate_width)

%用gate_width给变量t0确定数值?
f_plot=subs(f,t,t_plot)

%把变量t的取值范围取为t_plot?
figure(1)? subplot(2, 1 ,1)? plot(t_plot,f_plot)? grid on;? title(′半余弦函数在门宽为gate__width时的时域显示′) xlabel(′t/s′)?

第2章 确知信号分析 ylabel(′门函数D(t)′) F=fourier(f,t,w) %对半余弦脉冲函数中的变量t进行 %傅里叶变换,输出以w为变量 F = F%显示频域的解析表达式? W_plot = [-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width: 20*pi/gate_width]?

F = subs(F,t0,gate_width)?
F_plot = subs(F,w,W_plot)?

第2章 确知信号分析 subplot(2, 1 ,2)? plot(_plot,F_plot)? grid on;?

title(′半余弦函数在门宽为gate__width时的傅氏变换结果
频域显示′)? xlabel(′w/rad′)? ylabel(′F(w)′)

第2章 确知信号分析

7. 梯形脉冲函数及其傅里叶变换
梯形脉冲的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第18项,此 函数当α=1时就是三角脉冲。MATLAB程序如下:? gate_width=0.2 %梯形脉冲函数参数τ的测试数据, %可以修改?

a_value = 0.5
syms t t0 w a

%梯形脉冲函数滚降因子a的测试数
%据,可以修改? %定义时间变量t、门函数的宽度τ(用 %t0表示)、频率变量ω(用w表示)以及 %滚降因子a??

第2章 确知信号分析

f = (heaviside(t+(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1-a)*t0/4))+…?
(heaviside(t+(1+a)*t0/4)-heaviside(t+(1-a)*t0/4))*1/2* (1+4/(a*t0)*(t0/4+t))+…? (heaviside(t-(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1+a)*t0/4))*1/2* (1+4/(a*t0)*(t0/4-t));?

f = f%显示时域的解析表达式?
t_plot = [-gate_width*2:0.001/gate_width:gate_width*2] f = subs(f,t0,gate_width) %用gate_width给变量t0确定数值? f = subs(f,a,a_value) ?

第2章 确知信号分析 f_plot=subs(f,t,t_plot) %把变量t的取值范围取为t_plot?

figure(1)?
subplot(2, 1 ,1)? plot(t_plot,f_plot)?

grid on;?
title(′梯形脉冲函数在参数为gate__width a__value时的时 域显示′)? xlabel(′t/s′)? ylabel(′门函数D(t)′)?

第2章 确知信号分析 F=fourier(f,t,w) %对梯形脉冲函数中的变量t进行傅 %里叶变换,输出以w为变量?

F = F%显示频域的解析表达式?
W_plot = [-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width: 20*pi/gate_width]?

第2章 确知信号分析 F = subs(F,t0,gate_width)? F_plot = subs(F,a,a_value)?

F_plot = subs(F,w,W_plot)?
subplot(2, 1 ,2)? plot(W_plot,F_plot)?

grid on;?
title(′梯形脉冲函数在参数为gate__width a__value时的傅 氏变换结果频域显示′)? xlabel(′w/rad′)? ylabel(′F(w)′)

第2章 确知信号分析 8. 指数函数及其傅里叶变换 指数函数e-α|t|及其傅里叶变换见表2.1第20项。MATLAB 程序如下:? a_value= 1 %可以修改本例中α的测试数据?

syms t a w

%定义时间变量t、衰减因子α以及频率
%变量ω?

f = exp(-a*abs(t));?

t_plot = [-100:0.01:100]?
f = subs(f,a,a_value)? f_plot=subs(f,t,t_plot)?

figure(1)?

第2章 确知信号分析 subplot(2, 1 ,1)? plot(t_plot,f_plot)?

grid on;?
title(′exp(-a*|t|)的时域显示′)? xlabel(′t/s′)?

ylabel(′exp{-a*|t|}′)?
F=fourier(f,t,w) %对指数函数中的变量t进行傅里叶变换,输出以w为变量 W_plot = [-10:0.01:10]? F = subs(F,a,a_value)?

F_plot = subs(F,w,W_plot)?

第2章 确知信号分析

subplot(2, 1 ,2)?
plot(W_plot,F_plot)? grid on;? title(′指数函数在a=a__value 时的傅氏变换结果频域显示′) xlabel(′w/rad′)? ylabel(′F(w)′)

第2章 确知信号分析

思 考 题
1. 知道周期信号中的一个波形的F(ω)以后,如何求出该
周期信号的Vn和傅里叶级数展开式? 2. 什么是线性电路?信号通过线性电路的不失真条件是 什么?频带信号通过线性电路以后包络不失真传输条件是什 么? 3. 说明相关函数、归一化相关函数、相关系数的区别与 联系。

4. 试举几个非周期功率信号的例子。
5. 试证明不同频率的正弦波的互相关函数为0。

第2章 确知信号分析

* 题
1. 已知f(t)如图P2.1所示,(1) 写出f(t)的傅里叶变换表示式; (2) 画出f(t)的频谱函数图。

图P2.1

第2章 确知信号分析 2. 已知f(t)为如图P2.2所示的周期函数,τ=0.002 s, T=0.008 s,(1) 写出f(t)的指数型傅里叶级数展开式; (2) 画出

其振幅频谱图。

图 P2.2

第2章 确知信号分析 3. 已知f(t)的频谱函数如图P2.3所示,画出f(t)cosω0t的频

谱函数图,设ω0t =5ωx。

图 P2.3

第2章 确知信号分析 4. 已知f(t)的波形如图P2.4所示。(1) 如果f(t)为电压,单位 为V(伏),加在1 Ω电阻上,求消耗的能量;(2) 求能量谱密度

G(ω); (3) 求f(t)*f(t)。

图 P2.4

第2章 确知信号分析 5. 已知功率信号f(t)=Acos(200πt)sin(2000πt)。试求:(1) 该 信号的*均功率;(2) 该信号的功率谱密度; (3) 该信号的自

相关函数。 6. 已知f(t)如图P2.5所示(其中tri(t|τ)为信号的三角脉冲表
示)。 (1) 求F(ω)(提示: 要用技巧性强的方法求);

(2) 当τ增加时,此信号的能量是增加还是减小?
(3) 此信号通过一个截止频率固定的低通滤波器,如图P2.3 所示,滤波器输出端的能量随τ的增加,是增加还是减小?

第2章 确知信号分析

图P2.5

第2章 确知信号分析 7. 已知某信号的频谱函数为Sa2(ωτ/2),求该信号的能量。 8. 试计算电压v(t)=Sa(ωt)在100 Ω电阻上消耗的总能量。

9. 求图P2.6所示两个周期信号的互相关函数R12(τ)。
10. 求图P2.6(a)所示信号v1(t)的自相关函数R(τ)、功率谱 密度P(ω)和*均功率S。

第2章 确知信号分析

图P2.6


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